Léonard de Pise et les nombres dorés par Daniel COLOGNE

Nous sommes en 1202. Depuis deux siècles, Pise est une grande puissance méditerranéenne. Son déclin ne s’amorcera que cent ans plus tard avec la destruction de sa flotte par sa rivale génoise en 1294.  Son annexion par Florence en 1406 ne l’empêchera pas d’accueillir un important concile en 1409. Mais au début du XIIIe siècle, Pise est au sommet de son rayonnement et abrite un des plus grands mathématiciens de l’époque : Leonardo Fibonacci (1175 – 1240).

Mieux connu sous l’appellation de Léonard de Pise, Fibonacci naît et meurt dans la cité à la célèbre tour penchée. Il publie en 1202 son Liber Abaqui. Cette année-là disparaît le prophète calabrais Joachim de Flore (Gioacchino da Fiore). C’est le temps des romanciers de Graal. Chrétien de Troyes meurt en 1183. Fibonacci est contemporain de Wolfram von Eschenbach (1170 – 1220).

La légende de Perceval fleurit dans le sillage des conteurs tandis que Léonard de Pise s’adonne à une recherche sur les séries de nombres.  Il introduit la suite numérique dans laquelle chaque terme équivaut à la somme des deux termes précédents :

0   1   1   2   3   5   8   13   21   34   55   etc.

Cette série possède une particularité supplémentaire. À partir du nombre 5, chaque terme divisé par le terme précédent aboutit à un résultat très proche du nombre d’or (1,618).

Il existe une autre suite de nombres du même type :

1   5   6   11   17   28   45   73   118   etc.

Cette série-ci a obligatoirement le nombre 1 pour point de départ, alors que la série de Fibonacci peut indifféremment partir du zéro ou de l’unité.

La comparaison entre les deux séries est très instructive.

Série de Fibonacci                            Autre série

(de bas en haut) (de haut en bas)

144 1

89 5

55* 6*

34* 11*

21* 17*

13* 28*

8* 45*

5* 73*

3* 118*

2 191

1

La multiplication des nombres marqués de l’astérisque tend à donner pour résultat un nombre de plus en plus proche de 360.

Ce résultat est même exact lorsqu’on multiplie 8 par 45.

Il semble donc que les séries de nombres dorés aient un rapport avec les degrés du cercle zodiacal ou horoscopique, ce qui revient à supposer des relations étroites entre l’arithmosophie (science des nombres) et l’astrologie.

Dans le tableau ci-dessus, les aspects astrologiques particulièrement mis en valeur sont :

— le semi-carré (arc de 45 degrés, 1/8 de cercle).

— le quintile (arc de 72 degrés, 1/5 de cercle).

— le trigone (arc de 120 degrés, 1/3 de cercle).

Remarquons également le lien entre 13 (nombre annuel des lunaisons) et 28 (nombre de jours d’une lunaison), dont la multiplication donne 364.

Les nombres 4, 7 et 12 sont absents des deux séries, ce qui peut surprendre.

Toutefois, la série de Léonard de Pise comporte le nombre 144, soit le carré de 12.

Le nombre 89 est voisin du 90 et renvoie à l’aspect astrologique dit « carré » ou « quadrature » (division du cercle en 4).

Quant au nombre 55, il peut se référer, quoique de manière approximative, au sextile (arc de 60 degrés, 1/6 de cercle), mais également au septile (arc de 51 degrés, 1/7 de cercle).

La présence du nombre 5 dans les deux séries doit nous interpeller.

La pentafonctionnalité de Gilbert Durand aurait-elle plus de valeur que la division en quatre castes ou que la théorie dumézilienne des trois fonctions ?

À côté de la doctrine des quatre âges (Hésiode, Virgile, Ovide, les yugas de la tradition hindoue), certains peuples ont développé une vision quinaire de l’histoire : les « cinq soleils » de l’ancien Mexique, les cinq races qui ont occupé l’Irlande selon la mythologie celtique.

L’architecture traditionnelle de certaines villes est fondée sur le nombre 5. C’est notamment le cas de Bruxelles, dont la dernière enceinte formait un polygone à 5 côtés. Le centre de la capitale belge et européenne s’appelle encore aujourd’hui le Pentagone.

Après le bombardement des armées de Louis XIV en 1695, la Grand’Place de Bruxelles a été rapidement reconstruite en 1701 selon un plan quinaire, par analogie avec l’ensemble du Bruxelles intra muros. La statue équestre de Charles de Lorraine (élevée de son vivant en 1754) trône au sommet de la troisième maison d’une série de cinq. Quant au portail principal de l’Hôtel de Ville, il sépare deux séries respectivement composées de onze et six arcades.

Ces quelques considérations suffisent pour mesurer l’importance du nombre 5, que les Pythagoriciens appelaient « nombre nuptial ».

Pour produire sa série de nombres dorés, Fibonacci passe du 3 au 5 en éliminant le 4.

Remarquons toutefois que le carré de 4 s’insère parfaitement entre le carré de 3 et le carré de 5.  En effet, 9 + 16 = 25. Le passage au carré est aussi appelé, en langage mathématique, élévation à une puissance.  C’est pourquoi la série des carrés : 1   4   9   16    25   36   49, etc., ne peut pas installer l’harmonie durable à laquelle aboutit la suite numérique dorée de Léonard de Pise et ses deux caractéristiques :

chaque terme est la somme des deux termes précédents.

À partir du nombre 5, la division de chaque terme par le terme précédent donne un résultat voisin du nombre d’or (1,618).

Daniel Cologne